גלילאו והנפילה החופשית

זאב קרקובר

 

 

אריסטו אומר כי "כדור ברזל בן מאה ליטראות הנופל מגובה מאה אמות מגיע לארץ קודם שהספיק כדור בן ליטרה אחת ליפול אמה אחת" .ואני אומר ששניהם מגיעים בבת אחת.

גלילאו.

 

 

האם גופים שונים נופלים באופן שונה ?

 האם גופים שונים נופלים בתאוצה שונה? תשובתם המיידית של רוב בני האדם (שלא למדו פיסיקה) תהיה שגופים כבדים נופלים מהר יותר מגופים קלים. אם נדרוש מהם נימוקים לטענה זו הם יעלו (לאחר מחשבה קצרה) שני סוגי נימוקים. ראשית-התצפית מוכיחה את הדבר. שנית-ניתן לתת הסבר "הגיוני" לטענתם. הנימוק התצפיתי הוא פשוט. טלו בידיכם שני גופים-אבן ונוצה.שחררו את שניהם מגובה זהה, האבן תיפול מיד ארצה בעוד הנוצה יורדת לאיטה. ירידתה האיטית של הנוצה נובעת מקלותה ("קל כנוצה").

ירידתה המיידית של האבן נובעת ממשקלה הכבד ("נופל כאבן").

הנימוק העיוני (סברה) מבוסס על התנהגות גופים במצבים שאינם נפילה חופשית. לדוגמה: כאשר מניחים על שתי כפות המאזניים משקולות שונות, ייטו הכפות בכיון המשקולת הכבדה. מכאן שגוף כבד "נמשך" חזק יותר כלפי מטה. האם אין נובע מכאן שאם נשחררו מכף המאזניים הוא ייפול מהר יותר? ועוד, כידוע גופים כבדים מן המים שוקעים בעוד שגופים קלים מן המים צפים. הדבר מעיד על כך שככל שהגוף כבד יותר הוא נמשך יותר כלפי מטה.

אנו רואים שיש בידנו צרוף של סברה וניסוי המשכנעים בני אדם להאמין שאכן גופים כבדים נופלים מהר יותר מגופים קלים. וכך אכן כתב אריסטו ועל כתביו הסתמכו במהלך ימי הביניים.

והנה מופיע גלילאו בתחילת המאה ה17- והופך את הקערה על פיה.

הוא מראה כי נעשה שימוש לא נכון גם בניסוי וגם בסברה! גלילאו טוען כי הנפילה החופשית זהה בכל הגופים!

על מה סמך גלילאו את טענותיו?

 

הפרדוקס של גלילאו

האופן שבו גלילאו תוקף את "השיקול העיוני" מעניין במיוחד. גלילאו מראה כי השיקול העיוני אינו תקף משום שקיימת בו סתירה פנימית שאין ניתן ליישבה אלא אם כן לתאוצה של גופים שונים יש ערך משותף. בטיעונו של גלילאו יש מופת של שיקול גאוני ויכולת הבהרה של המושגים.

טיעונו של גלילאו הוא כלהלן: נניח שיש בידינו שני גופים האחד "כבד" (3 ק"ג) והשני "קל" (1 ק"ג).

לפי הסברה הרווחת יגיע הגוף הכבד לקרקע ראשון (תוך שניה), ומשנהו יגיע אחריו (תוך 3 שניות).

נחבר עתה את הגופים זה לזה. הגוף הקל יגדיל את מהירותו כתוצאה מחיבורו לגוף מהיר יותר, ולעומתו הגוף הכבד והמהיר יקטין את מהירותו כתוצאה מחיבורו לגוף האיטי. כלומר הגוף המורכב יגיע לקרקע כעבור זמן גדול משניה וקטן משלוש שניות. מצד שני בהיותו גוף "כבד מאוד" (4 ק"ג) עליו ליפול מהר יותר מן הגוף הכבד. כלומר הוא יגיע לרצפה כעבור פחות משניה. וזוהי סתירה. הדרך הסבירה לצאת מן הסתירה היא להניח שכל הגופים נופלים בתאוצה זהה!

 

הסבר תוצאות הניסוי

אשר לתוצאות הניסויים- טוען גלילאו- הן הובנו שלא כהלכה. הדרך הנכונה לבדוק באופן ניסויי האם גופים נופלים באופן שונה היא אכן לשחררם ממנוחה מגובה זהה. אך ניסויים אלה סובלים מבעיה בסיסית: זמן הנפילה הוא כה מהיר עד שקשה למודדו במדויק ולהבחין בהבדלים (אם הם קיימים). נפילה מגובה מטר נמשכת פחות מחצי שניה, ונפילה מגובה חמישה מטרים נמשכת שניה בלבד! בתנאים שכאלה קשה לדבר על דיוק מדעי.

 את היות הנוצה נופלת לאט מן האבן תולה גלילאו בצורת הנוצה ולא במשקלה.

לנוצה שטח פנים גדול לנפחה ולכן התנגדות האוויר גדולה במיוחד (שהרי שטח המגע אם האוויר גדול). נוכל להשתכנע בכך אם נחשוב על שני מטענים שווי משקל המושלכים ממטוס, האחד כולל מצנח והשני נופל ללא מצנח, למרות משקלם הזהה לא יפלו בקצב זהה. ברור, אפוא , שלא המשקל הוא הגורם לעיכוב נפילת שני הגופים.

 אנו רואים כי גלילאו מציג שתי בעיות המונעות מאתנו אישור נסיוני של טענתו העיונית. האחת- אי דיוק הנובע מזמן נפילה קצר; השניה - התנגדות האוויר הפועלת באופן שונה על גופים בעלי צורה שונה. עלינו לברר עתה כיצד מציע גלילאו להתגבר על בעיות אלה.

 

הניסויים המוצעים ע"י גלילאו

 כדי להתגבר על קוצר זמן הנפילה הציע גלילאו את הניסויים האפשריים הבאים:

 

1. השלכה מגובה רב: כאן קיימת בעיה מעשית. היכן נמצא מקום גבוה שאפשר להשליך ממנו אנכית כלפי מטה ממרחק רב? הכל מכירים את הניסוי המפורסם של גלילאו. הוא הציע לעלות על המגדל הנטוי של מגדל פיזה, ומצדו הנטוי להשליך גופים שונים אל הצד השני ולהיווכח שהם מגיעים ארצה בזמן זהה. יתכן שניסוי זה לא נערך מעולם, אך זוהי ההצעה הפשוטה ביותר.

 

2. תנועה לאורך מישור משופע: כדי להאט את הנפילה מציע גלילאו תנועת גופים המחליקים על מישורים משופעים. המישור המשופע מונע על הנפילה האנכית ומותיר מן התאוצה רק רכיב אחד gsina ) ומצד שני מאריך את מסלול הנפילה (x = h/sina ). כתוצאה מכך ניתן לחשב זמן הנפילה:

 

ולכן

 

וככל ש-a קטנה יותר זמן הירידה ארוך יותר. גלילאו מדווח על ניסויים שבהם sin a הוא 1/6 או 1/12 ולכן זמן הירידה גדל פי 6 או פי 12.

 במדידה זו יש חשש שתהיה האטה נוספת אם המשטח אינו חלק. זוהי מגרעת שגלילאו מציע לצמצמה ע"י בחירת משטחים וגופים חלקים במיוחד.

 

3 . תנועת מטוטלת: כדי להימנע מחיכוך עם משטח ועם זה לעכב את הנפילה החופשית, מציע גלילאו לתלות את הגוף על חוט ארוך שקצהו העליון קשור לנקודה קבועה. הוא מתאר ניסוי ארוך שבו נוטלים שני חוטים שווי אורך ומצמידים לאחד מהם גוף עופרת ולמשנהו גוף שעם קל ממנו פי מאה שני האנכים מוסטים מן המצב האנכי בזווית זהה אם עוזבים את שני הגופים ביחד מתברר כי הכבד אינו נע מהר מן הקל אלא שניהם נעים יחד. לדעת גלילאו, יתרונו הגדול של ניסוי זה הוא בכך שהמהירות אינה מגיעה אף פעם לערכים גדולים, גם בתנועה ממושכת. לעומת זה, בנפילה חופשית ממושכת המהירות גדלה מאוד וכתוצאה מכך התנגדות האויר גדלה.

 

התנגדות האוויר

 טענתו של גלילאו היא כי כל הגופים נופלים בתאוצה שונה. ההבדלים הקטנים

הנצפים מקורם בהתנגדות האוויר.

לדעת גלילאו נפילתו של כעל גוף היא צירוף של שתי תנועות:

1. "תנועה טבעית" זהה ומשותפת לכל הגופים בלי קשר לתכונותיהם.

2. סטיות מן "התנועה הטבעית" כתוצאה מהתנגדות האוויר לתנועה שהיא תלויה בצפיפות הגוף, בצורתו ומהירותו.

כדי להוכיח את טענתו של גלילאו בדבר התנועה הטבעית והאחידה יש צורך לעשות ניסויים במערכות שבהן אין אוויר. דבר זה לא עמד לרשות גלילאו. רק שלושה חודשים לפני מותו הציע גלילאו לטוריצ'לי לחקור את עניין השאיבה.

מלבד זה, הדעה הרווחת היתה שאזור ללא אוויר (ריק-ואקום) הוא בלתי אפשרי באופן עקרוני. ייתכן ,אפוא, שהתנועה הטבעית של גלילאו אינה מתגשמת ללא סטיות בשום מקום, ומיד עולה השאלה מה הטעם לדבר על דברים שאינם במציאות? מדידות שנעשו מאז גלילאו ועד היום אישרו את נכונות טענותיו. כיום יש ביכולתנו ליצור אזורים דלילי אוויר במידה כזו שהתנגדות האוויר מבוטלת לחלוטין. באזורים כאלה מתברר כי אכן אין שום הבדל שניתן למדדו בנפילתם של גופים שונים. כאמור, גלילאו לא ערך ניסויים באזורים כאלה, אך הוא טען שאנו רואים שככל שההתנגדות לנפילה קטנה יותר ההבדלים בנפילת הגופים קטנים יותר. מכאן שהגבול שבו אין כלל התנגדות הגופים התנהגו בצורה זהה! מה שעשה כאן גלילאו הוא חשיפה של חוק טבע בסיסי החבוי מאחורי סבך עובדות ניסיוניות!

 

האם התאוצה קבועה ?

 קל להבחין כי גופים מאיצים תוך כדי נפילה. אך האם זוהי תאוצה קבועה? זאת יש לבדוק בניסוי. אך קודם לניסוי מעלה גלילאו נימוק אחר. לטענתו יש לתאוצה הקבועה יתרון בהיותה תנועה בעלת חוקיות פשוטה. מתברר כי כאשר אנו מעמיקים בחקר הטבע אנו מגלים כי הוא פועל במסגרת חוקים פשוטים. כדברי גלילאו: "הרגלו ומנהגו של הטבע עצמו בכל יתר פעולותיו, שהוא משתמש באמצעים רגילים, פשוטים וקלים מאוד... ולכן אם אני רואה שאבן נופלת ממקום גבוה שבו הייתה מונחת קודם, והיא הולכת ומוסיפה מהירות בהדרגה, למה לא אחשוב שתוספות אלה נעשות באופן פשוט עד למוד וגלוי לכל אדם?". התנועה בתאוצה קבועה עדיפה מפני שזהו חוק שינוי המהירות הפשוט ביותר, שכן השינוי נעשה בקצב קבוע. מסיבה זו חקר גלילאו את התנועה שוות התאוצה, ומצא כי המהירות גדלה באופן ליניארי והמקום גדל באופן ריבועי עם הזמן.

 מה מידת תקפותו של טיעון כזה? אין הוכחה מדעית. אך זהו כיוון מחשבה הנובע מהתנהגות בטבע כמו שאנו צופים בה.

פעמים רבות התברר כי מתוך סבך נתונים ניתן לחשוף חוקיות פשוטה, וכי רבים מחוקי הטבע משקפים פשטות זו. למסתכל מהצד נראה כי הפיסיקאי עושה את הדבר המסובך והבלתי מובן ביותר, בעוד שהפיסיקאי טוען שחוקי הטבע הם דווקא הפשוטים ביותר שניתן לדמיין! (כדי להבינו יש ללמוד פיסיקה). דרישת פשטות מקובלת מאוד בין הפיזיקאים. תורה פיסיקלית פשוטה היא תורה עדיפה . אם התורה הפיסיקלית סבוכה מדי מחפשים דרך לפשטה. נוכל להבין את גלילאו כך: אם קיימת חוקיות בנפילה החופשית, ואנו מנסים לחשוף אותה, כדאי להתחיל מן הכיוון הפשוט ביותר, והוא התאוצה הקבועה. אין בטחון שזהו החוק הנכון, את זה יוכל להוכיח רק הניסוי, אבל כדאי לתכנן את הניסוי כך שיבדוק תחילה אם חוק התאוצה הקבועה אכן נכן.

 

אישור התאוצה הקבועה בניסוי

 מבין שלוש האפשרויות למדידת הנפילה החופשית (נפילה מגובה רב, החלקה על מישור משופע ומטוטלת) בחר גלילאו בתנועה על המישור המשופע. (הנפילה החופשית מהירה מדי. תנועת המטוטלת אינה לאורך קו ישר אלא עפ"י מעגל, ותאוצתה אינה קבועה.

חשוב להבין שמדידות אלה לא נערכו בתנאי נפילה חופשית ממש. הגוף אינו חופשי והוא מוגבל בתנועתו ע"י המישור.

זוהי דוגמה למדידה עקיפה. כאשר קשה למדוד באופן ישיר אנו נזקקים למדידות כאלה.

 

מדידת זמן

 כדי להוכיח שהמקום הוא פונקציה ריבועית של הזמן יש צורך במדידת זמן. בידי גלילאו לא היה שעון מדויק. למעשה לא היה לו שום שעון מהסוג המוכר לנו. השעונים של ימינו מבוססים על תנועה מחזורית (של מטוטלת, קפיץ, מערכת מולקולרית או אטומית). השעון מונה את מספר התנודות שכל אחת מהן שווה למשך קודמתה. בימי גלילאו לא היו שעונים כאלה. למעשה, גלילאו היה הראשון שהציע מכשיר כזה, לאחר שהבחין במחזוריות המדויקת של המטוטלת. לבן יומנו שכל סדר יומו בנוי על שימוש בשעון קשה להבין את התקופה ההיא ואין זה ברור כיצד ניתן לבצע מדידות זמן מדויקות בתנאים כאלה.

וכך מדד גלילאו את הזמן:

 "לשם מדידת הזמן השתמשנו בדלי מים גדול שהוצב במקום גבוה. לתחתית הדלי הלחמנו צינור דק, שדרכו זרמו בקילוח דק המים, שאספונום בכוס קטנה במשך כל זמן ירידתו של הכדור כמויות המים שנאספו בדרך נשקלו מדי פעם במאזניים מדויקים מאוד. ההפרשים והיחסים שבין המשקלים נתנו בידינו את ההפרשים והיחסים שבין הזמנים, וכל זאת במעלת דיוק כזאת, שאף על פי שחזרנו על המעשה פעמים רבות, לא הייתה כל סטייה הראויה להיחשב"

 

באמצעות "שעון-מים" זה הצליח גלילאו להוכיח כי המקום מתנהג כפונקציה ריבועית של הזמן ומכאן שתאוצה קבועה.

 

הישגו של גלילאו בשימוש במושג הזמן אינו רק בהתגברות על קשיי מדידה אלא בעצם השימוש במושג הזמן. קודם לו לא יחסו לזמן גודל שניתן לכללו בחוקי הטבע באופן כמותי. גלילאו הוא מהראשון שהתייחס אל הזמן כגודל מדיד שניתן לשבצו בחוקי הטבע בעלי אופי מתמטי.

 

סיכום

 הישגו של גלילאו בדיון בנפילה חופשית הוא מן המזהירים בתולדות המדע. בניגוד למה שסברו בני דורו וקודמיהם, בניגוד למה שנראה מן הניסוי ומישיקולים הגיוניים, מופיע גלילאו ובהגיון חד וחריף מראה כי ההיפך הוא הנכון. מה שנראה כ"שכל הישר" סובל מסתירה פנימית חמורה, ואילו תוצאות הניסויים הובנו שלא כהלכה. "ניסיון חיים" אינו תחליף לניסוי מדעי מבוקר, ו"שכל ישר" אינו תחליף לדיון מדעי מסודר. הוא דורש מטיעון מדעי עיקביות וחוסר סתירה פנימית. הוא מסביר את השגיאה בתוצאת הניסויים ע"י שגיאות מדידה וגורמים משניים. הוא מציע ניסויים חדשים שבהם ניתן להתגבר במידה זו או אחרת על הגבלת המדידה, ואף מדווח על תוצאות ניסויים חדשים שבהם ניתן להתגבר במידה זו או אחרת על הגבלת המדידה, ואף מדווח על תוצאות ניסויים שהוא ערך. הוא מציג את התנועה כמורכבת מ"תנועה טבעית" משותפת לכל הגופים ומהשפעות משניות, וכל זה מתוך מידע ניסויי מעורפל שלא איפשר לעמיתיו ולקודמיו להגיע לחקר התופעה, ומבלי שהיתה בידו אפשרות להגיע לתנאים שבהם ניתן לבטל לחלוטין את הגורמים המפריעים. עלה בידו להציע ניסויים גאוניים בפשטותם לצורך הוכחת טענותיו. כמו כן, הוא היה הראשון להכניס את מושג הזמן כגודל פיזיקלי מדיד המופיע בנוסחאות מתמטיות, ואף לערוך מדידות זמן מדוייקות ללא שעון (כזה המוכר לנו). מעניין במיוחד האופן שבו גלילאו מתמרן בין שיקול הגיוני, תאוריה וניסוי. היכולת לברור מתוך הנתונים המעורפלים את האינפורמציה הנכונה היא אומנותו של הפיזיקאי הגדול. האם יש מרשם על פיו ניתן לפעול כדי לעשות את המאלכה ? כנראה שאין. לו היה בידינו מרשם כזה היינו כולנו גלילאו.