משטחים מינימלים - סמינר לתואר ראשון

סמסטר ב, תשע"ו 2016

מרצה: 
בועז קלרטג
שעת קבלה: יום ג, 13-14
חדר 229, בניין שרייבר
טלפון: 03-6406957 

שיעור:
ימי ראשון, 16-18, שרייבר 7 

הבדלים בין סמינר וקורס רגיל
אחת השיטות ללמוד היטב נושא מסויים, למשל במתמטיקה, היא לנסות להסביר אותו לאחרים. 
בניגוד לקורס רגיל באוניברסיטה, בסמינר שלנו הסטודנטים והסטודנטיות אמורים להעביר את רוב ההרצאות. 

התוכנית הכללית היא כדלקמן: אנו מעוניינים ללמוד את הספר "משטחים מינימלים" של אוסרמן (פרטים על הספר בהמשך, יש מספיק עותקים שלו בספריה). נחלק את 12 פרקי הספר בין משתתפי הסמינר (בהנחה שיש בערך 12 תלמידים רשומים), ובכל שבוע אחד התלמידים ירצה על הפרק שנבחר עבורו. 

לפני שתלמיד מרצה על הפרק לפני הכיתה ביום ראשון, עליו להיפגש איתי במשרד, נניח ביום רביעי או חמישי שלפני ההרצאה, ולשוחח איתי אודות ההרצאה שהוא מתכנן, מעין "חזרה גנרלית" לקראת ההרצאה. 

מנהלות
ציון הקורס מתבסס על ההרצאה (80%) ועל השתתפות פעילה בשיעורים שמעבירים תלמידים אחרים (20%). 

אני מעריך שתוכן כל פרק מתאים בערך להרצאה של שעתיים, אולי קצת יותר, אבל אין לי שום ניסיון בסמינרים לתואר ראשון, כך שההערכה שלי לא שווה הרבה. יכול להיות שנצליח לקרוא רק חלק מהספר (בטוח שנספיק את משפט ברנשטיין). אני חושב שסביר לנסות לתכנן את לו"ז ההרצאות 4-5 שבועות קדימה. 

אם נסיים את הספר מוקדם מהצפוי, נמשיך עם ספרים אחרים: אולי הספר של Giusti, שמתמקד באספקטים אנליטים (בסגנון "פונקציות ממשיות") ואולי הספר של Colding ו- Minicozzi שהוא הרבה יותר גיאומטרי. 

נושאי הלימוד

כאמור, הספר שנלמד הוא: 
Robert Osserman, A survey of minimal surfaces

פרקים 1 ו- 6 מכילים בעיקר מושגים והגדרות, בפרקים 2-5, 8-9 יש חישובים אנליטים וגיאומטרים יפים, בעלי אופי אלמנטרי יחסית. פרקים 7 ו- 10 הם בעיקר סקירה של משפטים שקשורים לבעיית לפלס, עם הוכחות חלקיות. 

פירוט נוסף לגבי 9 הפרקים הראשונים, וסילבוס מפורט של הסמינר:

פרק 1: מהו משטח, מישור משיק, תבנית יסודית ראשונה ושנייה.

פרק 2: משטחים בהצגה לא-פרמטרית (כלומר, גרף של פונקציה מ- R^2 ל- R), נוסחאות לעקמומיות במונחי הפונקציה, דוגמאות למשטחים ספציפים, גרף של פונקציה הולומורפית.

פרק 3: וואריאציות של משטחים, משטח שממזער שטח הוא בהכרח משטח מינימלי (עקמומיות ממוצעת שווה לאפס), ניסוחים שקולים למשוואת המשטח המינימלי.

פרק 4: מה שנקרא קואורדינטות איזותרמיות: משטחים שנתונות כהעתקה קונפורמית (שומרת זויות) של תחום במישור. הוכחה ישירה שלמשטח מינימלי, תמיד יש קואורדינטות איזותרמיות (באופן מקומי).

פרק 5: פונקציות קמורות במישור, העתקת הגרדיאנט. הוכחת משפט ברנשטיין: משטח מינימלי שהוא גרף מעל כל המישור, חייב להיות מישור בעצמו.

פרק 6: משטחים שאינם גרף מעל כל המישור. מהי יריעה דיפרנציאלית באופן כללי (אטלס של מפות וכו') , מבנה קונפורמי, מטריקה רימנית שלמה, משטחים פשוטי קשר, ניסוח (בלי הוכחה) של משפט האוניפורמיזציה.

פרק 7: קצת על בעיית Plateau (משטח מינימלי עם שפה נתונה, "בועת סבון"): בהינתן עקום ז'ורדן במרחב, קיים משטח מינימלי פשוט-קשר שזו שפתו. סקיצה של ההוכחה, עם חלק מהפרטים (מודולו טענות על בעיית לפלס ופונקציות הרמוניות)

פרק 8: העתקת גאוס, קשר לפונקציות מרוכבות, משפט: למשטח מינימלי שלם שאינו מישור, תמונת העתקת גאוס צפופה בספירה. דיון באוסף הנקודות שהעתקת גאוס עשוייה לפספס.

פרק 9: עקמומיות גאוס, אינטגרל העקמומיות (בסגנון גאוס-בונה), אפיון כל המשטחים המינימלים השלמים שהעתקת גאוס שלהם היא חד-חד-ערכית.

שונות

• הסבר נוסף על פרק 3, מדוע משטח מינימלי הוא נקודת מינימום יחידה של פונקציונל השטח עבור עיוויים נורמלים מקומיים.
• דף נוסחאות חלקי בנושא משטחים מינימלים בהצגה אפרמטרית
• הסבר נוסף על פרק 7, ובו יובהר מדוע הממזער של אינטגרל דיריכלה הוא משטח מינימלי.